Este modelo es importante en el estudio de la estadística
inferencial. Se obtiene de la distribución gama con α=ν/2, β=2.
Definición
Una variable aleatoria conjunta x tiene distribución
ji-cuadrada si su densidad de probabilidad está dada por
Esta distribución tiene un parámetro: ν>0 y se denomina
numero de grados de libertad.
En realidad la distribución Ji-cuadrada es la distribución
muestral de S2. O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una
población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la
distribución muestral de la varianza. Para estimar la varianza poblacional o la
desviación estándar, se necesita conocer el estadístico X2. Si se elige una
muestra de tamaño n de una población normal con varianza σ2 el estadístico.
Tiene una distribución muestral que es una distribución
ji-cuadrada con gl=n-1 grados de libertad y se denota X2. El estadístico ji-
cuadrada esta dado por:
Donde n es el tamaño de la muestra, S2 la varianza muestral
y σ2 la varianza de la población de donde se extrajo la muestra. El estadístico
ji-cuadrada también se puede dar con la siguiente expresión:
Propiedades de la distribución Ji-cuadrada:
1. Los valores de
X2 son mayores o iguales que 0.
2. La forma de una
distribución X2 depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un número infinito de
distribuciones X2.
3. El área bajo una
curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.
4. Las
distribuciones X2 no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a
la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha.
5. Cuando n>2,
la media de una distribución X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1).
6. El valor modal
de una distribución X2 se da en el valor (n-3).
La siguiente figura ilustra tres distribuciones X2
Ejemplo
Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús
para alcanzar uno de sus destinos en una ciudad grande forma una distribución
normal con una desviación estándar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra
de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor
que 2.
Solución:
Primero se encontrara el valor de ji-cuadrada
correspondiente a S2=2 como sigue:
El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de
16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a
la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(S2>2).
Con base en:
[1] Distribución Ji-cuadrada [Fecha de consulta: 17 de
noviembre del 2013]. Disponible en:
http://prezi.com/vm4-qqlyquyk/distribucion-de-ji-cuadrada/
[2] Distribución ji-cuadrada curso estadística 1 [Fecha de
consulta: 17 de noviembre del 2013]. Disponible en:
http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/cap03b.HTML
[3] Probabilidad y estadística básica para ingenieros pdf
[Fecha de consulta: 17 de noviembre del 2013]
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