Practica 6 Parte 1

Problema 1

Realizar los ejercicios 90 y 91 en mathlab.

Problema 2

Realizar los ejercicios de la pagina 92 (1,2 y 3).

Problema 3

Realizar ejercicio en mathlab de la pagina 93,95,97 y 99.

Problema 4

Realizar ejercicios de la pagina 98 (1,2, y 3).

Problema 5

Realizar ejercicios en mathlab de la pagina 101 y 103.

Problema 6

Realizar ejercicios de la pagina 103 (1,2 y 3).

Investigacion de la distribucion Ji-cuadrado

Este modelo es importante en el estudio de la estadística inferencial. Se obtiene de la distribución gama con α=ν/2, β=2.

Definición

Una variable aleatoria conjunta x tiene distribución ji-cuadrada si su densidad de probabilidad está dada por

Esta distribución tiene un parámetro: ν>0 y se denomina numero de grados de libertad.

En realidad la distribución Ji-cuadrada es la distribución muestral de S2. O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de la varianza. Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita conocer el estadístico X2. Si se elige una muestra de tamaño n de una población normal con varianza σ2 el estadístico.

Tiene una distribución muestral que es una distribución ji-cuadrada con gl=n-1 grados de libertad y se denota X2. El estadístico ji- cuadrada esta dado por:

Donde n es el tamaño de la muestra, S2 la varianza muestral y σ2 la varianza de la población de donde se extrajo la muestra. El estadístico ji-cuadrada también se puede dar con la siguiente expresión:

Propiedades de la distribución Ji-cuadrada:

1.    Los valores de X2 son mayores o iguales que 0.

2.    La forma de una distribución X2 depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un número infinito de distribuciones X2.

3.    El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.

4.    Las distribuciones X2 no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha.

5.    Cuando n>2, la media de una distribución X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1).

6.    El valor modal de una distribución X2 se da en el valor (n-3).

La siguiente figura ilustra tres distribuciones X2

  

Ejemplo

Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar uno de sus destinos en una ciudad grande forma una distribución normal con una desviación estándar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.

Solución:

Primero se encontrara el valor de ji-cuadrada correspondiente a S2=2 como sigue:

El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(S2>2).

Con base en:

[1] Distribución Ji-cuadrada [Fecha de consulta: 17 de noviembre del 2013]. Disponible en:

http://prezi.com/vm4-qqlyquyk/distribucion-de-ji-cuadrada/

[2] Distribución ji-cuadrada curso estadística 1 [Fecha de consulta: 17 de noviembre del 2013]. Disponible en:

http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/cap03b.HTML

[3] Probabilidad y estadística básica para ingenieros pdf [Fecha de consulta: 17 de noviembre del 2013]

Ejercicio en clase 4

Problema 1

Cuales son todas las combinaciones de orden dos que pueden hacerse con los colores rojo, blanco y negro.

Problema 2

En una caja se tienen envueltos siete billetes de cien y cinco de cincuenta. Si se sacan dos billetes al azar, cual es la probabilidad de que dos sean de cien pesos.

Problema 3

En un sistema de lanzamiento de cohetes espaciales se encontró que la probabilidad de que el sistema de propulsión funcione correctamente es de 0.9. Además la probabilidad de que tanto el sistema de propulsión como el sistema de como el de control remoto funcionen correctamente es de 0.8. Calcule la probabilidad de que el control remoto funcione bien, si ya se lanzo el cohete y el sistema de propulsivo trabajo bien.

Problema 4

En una urna se encuentran ocho sobres idénticos. En dos de ellos hay un billete de 100 pesos y los otros seis están vacíos Si se extraen al azar dos sobres y al abrir uno de ellos se observa que contiene un billete. Cual es la probabilidad de que el segundo sobre contenga otro billete.

Problema 5

Si tienen dos letras a y dos letras b las cuales deben ordenarse en grupos distintos de cuatro letras, siendo igualmente probables todos los arreglos posibles. Calcule la probabilidad de que las dos letras a queden juntas (evento A) cuando la ultima letra es b (evento B).

Problema 6

En una bolsa se tiene tres bolas blancas y cuatro negras. En forma sucesiva, tres personas sacan al azar una de las bolas sin regresarla a la bolsa. La primera persona que saque una bola blanca gana mil pesos. Cual es la probabilidad de que sea la primera persona quien gane (evento F).

Problema 7

En un laboratorio de biología tienen diez ratones blancos y diez grises encerrados en una jaula. Si la jaula tiene una puerta por la cual solo cabe un ratón calcule la probabilidad de que al abrir la puerta de que al abrir la puerta por segunda ocasión salga un ratón bajo cada una de las siguientes condiciones.

1.- Si el primer ratón que salió fue blanco y se regreso a la jaula antes que saliera el segundo.

2.- Si el primer ratón fue blanco y no se regreso a la jaula.

Problema 8

Si usted escoge al azar a dos personas de la calle, cual es la probabilidad de que ambas hayan nacido en viernes.

Problema 9

En una urna se tiene nueve tiras de papel numeradas del uno al nueve. Si pedro López, saca dos tiras al azar y nos informa que la sima de los dos numero observados es par. Cual es la probabilidad de que ambos números sean impares.

Problema 10

Si en una urna se tienen tres monedas de 5 centavos dos de 10 y cinco de 25. Si se sacan tres de ellas al azar, calcule la probabilidad de que todas sean de 5 centavos.

Problema 11

Si al lanzar al aire simultáneamente dos dados no cargados resulta la diferencia entre el numero mayor y el menor es dos calcule la probabilidad de que en alguno de los dados aparezca el 6.

Problema 12

Se ha encontrado que 40% de los estudiantes de ing. Electrónica estudian por lo menos una hora diaria en la biblioteca del plantel. Si se seleccionan tres estudiantes al azar. Cual es la probabilidad de que:

1.- Los 3 estudien en la biblioteca

2.- Si dos de ellos estudian el tercero también lo haga.

Proyecto Unidad 1

Presentacion de Distribucion continua

Teorema de bayes

El teorema de Bayes

 El teorema de Bayes se utiliza para revisar probabilidades previamente calculadas cuando se posee nueva información. Desarrollado por el reverendo Thomas Bayes en el siglo XVII, el teorema de Bayes es una extensión de la probabilidad condicional.

La interpretación más aceptada del teorema de Bayes, es que su estructura permite el calculo de probabilidades después de haber sido realizado un experimento (probabilidades aposteriori), basándose en el conocimiento de la ocurrencia de ciertos eventos que dependan del evento estudiado, o sea, se parte de probabilidades conocidas antes de efectuar el experimento (probabilidades apriori).

Continuando nuestro análisis sobre el teorema de Bayes, la probabilidad condicional de Ai dado B, para cualquier i, es:

Ejemplo:

Una compañía de transporte público tiene tres líneas en una ciudad, de forma que el 45% de los autobuses cubre el servicio de la línea 1, el 25% cubre la línea 2 y el 30% cubre el servicio de la línea 3. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 3% y 1% respectivamente, para cada línea.

1) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería

2) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una avería?

A1 = Cubre el servicio de la línea 1

A2 = Cubre el servicio de la línea 2

A3 = Cubre el servicio de la línea 3

B1 = Sufre una avería

Dados:

P(A1) = 45% = 0.45

P(A2) = 25% = 0.25

P(A3) = 30% = 0.30

P(B1|A1) = 0.02

P(B1|A2) = 0.03

P(B1|A3) = 0.01

1) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería

P(B1) = (PA1)* P(B1|A1) + (PA2)* P(B1|A2) + (PA3)* P(B1|A3)

P(B1) = (0.45*0.02) + (0.25*0.03) + (0.3*0.01) = 0.0195

2) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una avería?

Se debe calcular las tres probabilidades empleando el Teorema de Bayes

P(A1|B1) = (P(A1)*P(B1|A1))/P(B1) = (0.45*0.02)/0.0195 = 0.4615

P(A2|B1) = (P(A2)*P(B1|A2))/P(B1) = (0.25*0.03)/0.0195 = 0.3846

P(A3|B1) = (P(A3)*P(B1|A3))/P(B1) = (0.3*0.01)/0.0195 = 0.1538

Entonces, sabiendo que el autobús sufre una avería, lo más probable es que sea de la línea 1, ya que esta probabilidad es la mayor.

Referencias:

[1] SUÁREZ, Mario, (2012), Interaprendizaje de Probabilidades y Estadística Inferencial con Excel, Winstats y Graph, Primera Edición. Imprenta M & V, Ibarra, Ecuador.

[2] sites.upiicsa "1.3.5 Teorema de Bayes" [Fecha de consulta: 2 de noviembre del 2012]. Disponible en : http://www.sites.upiicsa.ipn.mx/polilibros/portal/Polilibros/P_terminados/Probabilidad/doc/Unidad%201/1.3.5.htm#item0